1. ALLGEMEINES
In diesem Kapitel sind nur die wesentlichsten mathematischen und
statistischen Funktionen erläutert.
Eine vollständige Zusammenstellung aller mathematischen Worte kann unter
mathematics
gefunden werden.
Alle Funktionen die mit Zahlen arbeiten (z.B. sin,
n!,
cosh, ..) können auch für Zeitreihen
(=Verbunde von Realzahlen), Bilder (=Images),
EMED-Datensätze oder Verbunde von EMED-Datensätzen verwendet werden.
Auch Operatoren (wie z.B. +,
mod ..)
können für diese Datentypen oder Kombinationen davon
verwendet werden. Der Ergebnis-Datentyp
hängt von den Datentypen der Operatoren wie folgt ab:
- Real Real
.. Realzahl.
- Real Realverbund
... Realverbund. Jede Komponente von Real wird mit
Realverbund verknüpft.
- Realverbund Real
... ebenso.
- Realverbund Realverbund
... Realverbund. Die erste Komponente des ersten
Realverbunds wird mit der ersten des zweiten usw.
verknüpft. Hat ein Verbund weniger Komponenten
als der andere, so hat das Ergebnis so viele
Komponente wie der kürzere Operand.
- Real EMED
.. EMED-Datensatz. Jedes Pixel wird mit der Realzahl
verknüpft.
- EMED Real
... ebenso.
- EMED EMED
... EMED-Datensatz. Die Operatoren müssen
gleiches Format haben und werden pixelweise
verknüpft.
- Real EMED-Verbund
... EMED-Verbund. Jedes Pixel von jedem Bild
wird mit dem Operator Real verknüpft.
- EMED-Verbund Real
... ebenso.
- EMED-Verbund EMED-Verbund
... Verbund von EMED-Bildern. Alle Bilder
der Operanden müssen gleiches Format haben.
Die Verknüpfung erfolgt Bild für Bild pixelweise.
Hat ein Verbund weniger Bilder als der andere,
so hat das Ergebnis so viele wie dieser.
- Real Image
... Image. Die Pixel von Image werden jeweils
mit Real verknüpft.
- Image Real
... ebenso.
- Image Image
... Image. Beide Bilder müssen gleiches
Format haben. Die Verknüpfung erfolgt pixelweise.
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2.2. Zeitabschnitte
Die Klasse timeslices_class dient
zum Zerteilen und Bearbeiten von Zeitabschnitten. Ihre Funktionen können für beliebige
Verbunde oder Instanzen von Klassen, die die Funktionen count und cut kennen, verwendet
werden. Insbesondere gilt dies neben eindimensionalen Zeitreihen (Realverbund) auch
für Instanzen der Klassen trajectory_class und
trajectories_class.
Es gibt zwei Konstruktoren für Instanzen der Klasse
timeslices_class:
Einen, bei dem die Beginn- und Endzeitpunkte der Zeitabschnitte
angegeben werden (from-to>timeslices) und einen, bei
dem nur die Beginnzeitpunkte angegeben werden (from>timeslices),
die Zeitabschnitte also dicht liegen.
Beispiel:
Aus der Datei gangdat.met
wird die Vertikalbewegung der linken Ferse gelesen:
public \ 3d \ interfaces >voc
"gangdat.met" meta> z \ Ferse_L 100 400 |--| >> signal
Bestimmen der Zeitpunkte, zu denen die Ferse vom
Boden abhebt
signal 0.1 0.05 +trigger from>timeslices >> ab_fussungsende
Die Funktion draw kann für die Kontrollanzeige
der Zeitabschnitte verwendet werden:
signal ab_fussungsende draw screen
Die Funktion split teilt eine Zeitreihe (kann auch eine
andere als signal sein) in die Zeitabschnitte auf.
signal ab_fussungsende split draw screen
Durch Differenzbildung kann eine Teilphase bestimmt werden
(z.B. die Standphase).
signal 0.15 0.05 -trigger from>timeslices >> ab_fussungsbeginn
ab_fussungsbeginn ab_fussungsende - >> standphase
signal standphase draw screen
Weitere Funktionen für die Behandlung von Zeitabschnitten
sind bei
2.5. Fourier-Transformation
Die Worte fft und
ifft führen eine
Fast-Fourier-Transformation bzw. inverse Fast-Fourier-Transformation durch,
die Worte dft und
idft eine diskrete
Fourier-Transformation/Rücktransformation.
Syntax für fft und dft:
zeitreihe -> real imag
Syntax für ifft und idft:
real imag -> zeitreihe
Der Algorithmus für die Berechnung der Fast-Fourier-Transformations
verlangt, daß die Anzahl der Samples in der Zeitreihe oder den
Feldern ´real´ und ´imag´ einer ganzahligen Zweierpotenz
(also .. 64,128 .. 1024..) entsprechen muß. Nötigenfalls
kann man dies mit dem Wort ´normalize´ erreichen.
Bei beiden Worten wird der Gleichanteil (üblicherweise mit a0
bezeichnet) nicht berechnet bzw. nicht verwendet. D.h das Feld
´real´ enthält die Koeffizienten a1,a2... und das
Feld ´imag´ die Koeffizienten b1,b2 .....
Der Koeffizient a0 entspricht dem Mittelwert der Zeitreihe.
Er kann im Bedarfsfall jederzeit mit dem Wort
mean aus der Zeitreihe
berechnet werden.
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4.2. Die Klasse complex_class
Die Konstruktoren >complex der Klasse
complex_class
erwarten alle zwei Parameter, nämlich den Realteil
und den Imaginärteil am Stack. Nachdem es möglich ist
für beide Parameter sowohl einzelne Realzahlen als auch
Realverbunde anzugeben, existieren vier gleichlautende
Konstruktoren für alle möglichen Kombinationen.
Die Funktionen time>complex und complex>time dienen
zur Konverierung von Zeitreihen in komplexe Zahlen und
umgekehrt. Nachdem für die Konverierung eine
Fast-Fourier-Transformation verwendet wird
(siehe Wort fft), ist
Voraussetzung, dass die Sampleanzahl der Zeitreihe
eine ganzzahlige Zweierpotenz ist (2, 4, 8, 16 .. 512, 1024 ...).
Man beachte die mit set_config
gemachten Voreinstellungen
bezüglich der Grundfrequenz und er Anzahl der Oberwellen.
Die Anzahl der Oberwellen ist die halbe Sampleanzahl der
Zeitreihe, die Grundfrequenz die Frequenz, mit der
die Zeitreihe sich wiederholt.
Nebst den Standardoperatoren (+, -, *, /) ist noch der Operator
|| erwähnenswert, der die Parallelschaltung zweier komplexer
Widerstände berechnet. Die Funktionen betrag und phase
sprechen für sich. Die Funktion frequenzgang erzeugt eine
Graphik mit dem Frequenzgang der komplexen Zahl.
Beispiel:
Zeitverhalten eines RC-Hochpassfilters mit 100 Ohm und
1 uFarad bei Ansteuerung mit einem 1kHz Rechtecksignal.
private \ complex >voc
interface_of complex_class >voc
512 ramp 1 + 1000 * >> frequenzen
256 ramp 0 * dup 1 + & time>complex >> rechteck
100 Ohm >> R
1.0e-6 Farad >> C
R R C + / >> hochpass
rechteck hochpass * complex>time draw screen
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5.1. Grundfunktionen
Die Worte min,
max,
mean,
variance und
median bedürfen
vermutlich keiner weiteren Erklärung. Wichtig ist, dass
die Worte min, max, mean und variance auch
für Zeitreihen und Bilder, min und max auch für
EMED-Datensätze verwendet werden können.
Ein Wort für die Berechnung der
Standardabweichung kann einfach mit
: standard_deviation variance sqrt ;
definiert werden.
Ein Student T-Test kann mit dem Wort
ttest durchgeführt werden.
Es erwartet zwei Stichproben und legt als Ergebnis den Signifikanzwert
am Stack. Will man zum Beispiel auf 95% Signifikanz prüfen, so
genügt es, zu überprüfen, ob das Ergebnis von ´ttest´ größer 0.95 ist.
Zum Sortieren von Verbunden beliebiger Art nach beliebigen
Sortierkriterien existiert das Wort
sort. Es arbeitet mit
einem binären Sortierbaum und ist daher am schnellsten, wenn
die Eingangsdaten gut gemischt sind. Das Sortierkriterium kann
bei Bedarf in Form eines Codestrings definiert werden.
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5.4. Zweidimensionale Regressionen
Für die Entzerrung zweidimensionaler Funktionen (z.B. Korrektur
von nichtlinearen Linsenfehlern oder Korrektur von Linearitätsfehlern
bei der Schwerpunktberechnung bei Kraftmeßplatten) existieren die
Worte regress_2d
und polynom_2d.
Das Verfahren ist ähnlich der Regressionsrechnung mit Polynommodellen
in der Statistik: Es wird eine Polynomfunktion (im zweidimensionalen
Fall zwei Funktionen) nach der Kleinstquadratmethode bestmöglich
an gegebene Stützpunkte angepaßt.
Die verwendeten Polynomfunktionen haben folgende Form:
fx(x,y) = a00 + a01x + a02x2 + a03x3 ....
a10y + a11xy + a12x2y + a13x3y ....
a20y2 + a21xy2 + a22x2y2 + a23x3y2 ....
.
.
fy(x,y) = b00 + b01x + b02x2 + b03x3 ....
b10y + b11xy + b12x2y + b13x3y ....
b20y2 + b21xy2 + b22x2y2 + b23x3y2 ....
.
.
Die Berechnung der Parameter aij
und bij erfolgt mit dem Wort
